Question

（1）已知，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知，0＜x＜π，求cosx+2sinx的值．

Answer 1

解：（1）由已知，
两边平方得，，（2分）．
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=；（5分）

（2）因为，①
两边平方得，＜0，（7分）
所以，（9分）
由0＜x＜π，sinxcosx＜0，得到＜x＜π，
于是sinx＞0，cosx＜0，，②（11分）
由①②得sinx=，cosx=-，（13分）
所以cosx+2sinx=-+=-．（14分）
分析：（1）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinxcosx的值，然后把所求的式子加上2sin²xcos²x，且减去2sin²xcos²x保持与原式相等，配方为完全平方式后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的sinxcosx的值代入即可求出值；
（2）把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，利用同角三角函数间的基本关系求出2sinxcosx的值，然后利用完全平方公式把（sinx-cosx）²展开后，利用同角三角函数间的基本关系化简，并把求出的2sinxcosx的值代入可求出（sinx-cosx）²的值，根据x的范围及sinxcosx小于0，得出x为钝角，故sinx-cosx大于0，开方可求出sinx-cosx的值，与已知的等式联立即可求出sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入所求的式子即可求出值．
点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，以及整体代入思想的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．