Question

计算：
（1）已知，求sinα-cosα的值．
（2）求函数y=cos²x-2sinx+3的最大值及相应x的集合．

Answer 1

解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π），
∴sinα+cosα=（＜α＜π），
∴sin（α+）=，又＜α＜π，
∴＜α+＜，
∴cos（α+）=-，
∴sinα-cosα=-cos（α+）=-×（-）=；
（2）∵y=cos²x-2sinx+3
=5-（sinx+1）²，
∴当sinx=-1，即x=2kπ-（k∈Z）时，
y_max=5，
∴函数y=cos²x-2sinx+3取到最大值5时，x的集合为{x|x=x=2kπ-（k∈Z）}．
分析：（1）利用诱导公式可将sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π）转化为sinα+cosα=，可得sin（α+）=，从而可求cos（α+），于是进一步可得sinα-cosα的值；
（2）将y=cos²x-2sinx+3转化为：y=5-（sinx+1）²，可求得其最大值及相应x的集合．
点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查复合三角函数的单调性，掌握三角公式与正弦函数的性质是解决问题的基础，属于中档题．