Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的单调区间；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率成立，求实数a的最大值．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）．
h′（x）=-=，令h′（x）==0，则x=a
于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）的单调增区间为（a，+∞），h（x）的单调减区间是（0，a）．
（2）∵h′（x₀）==k，
∴在区间（0，3]上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k=≥成立，
即a≤-+x₀，等价于a≤（x∈（0，3]）．
∵-+x₀=-+，
∴=．
于是a≤，即a的最大值为．
分析：（1）由于h′（x）=，由h′（x）＞0，可求其单调增区间，h′（x）＜0可求其单调减区间；
（2）依题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k=≥成立?a≤（x∈（0，3]），求得即可．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究曲线上某点切线方程，考查分析问题与等价转化解决问题的能力，属于中档题．