Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是.

(2) .

【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由函数在处取得极值，可得，，等价于

利用导数研究函数的单调性可得以，从而得.

详解：（1）在区间上，

①若，则，是区间上的减函数；

②若，令得

在区间上，，函数是减函数；

在区间上，，函数是增函数；

综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；

②当时，的递增区间是，递减区间是.

（2）因为函数在处取得极值，

所以

解得，经检验满足题意.

由已知，则

令，则

易得在上递减，在上递增，

所以，即.