Question

【题目】设函数，e为自然对数的底数．

（1）求f（x）的单调区间：

（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，；（2）0＜a．

【解析】

（1）求导得，求得、的解集即可得解；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，由（1）可得当x＝1时，函数y取得极大值，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出x﹣lnx≥1．进而得出a的取值范围．

（1）函数，e为自然对数的底数，

则，

令可得，，

∴当，时，，单调递减；

当时，，单调递增；

∴的单调增区间为，单调减区间为，；

（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立x﹣lnx，x∈(0,+∞),

由（1）可得当x=1函数y取得极大值，

令g(x)= x﹣lnx,(x>0)，g′(x)= 1，

可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．

∴x﹣lnx≥g(1)=1，

当时，即为函数y的最大值，

∴x﹣lnx成立1，解得a；

当时，，不合题意；

综上所述，0<a．