Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b n=

n

4an

，其前n项和为T_n，
①求证：

1

4

≤Tn＜1
②是否存在最小整数m，使得不等式

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数列的通项公式能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）①把数列{a_n}的通项代入b_n=

n

4an

，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n，由此能证明

1

4

≤Tn＜1．
②把S_k，T_k代入

k+2

Sk(Tk+k+1)

，整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=2(1-

1

2k+1-1

)＜2，由此能求出m的取值范围．

解答： （1）解：当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2，
当n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，
两式相减得a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）①证明：由（1）得an=2n-1，
∴bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+

3

24

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

＜1，
又{T_n}是增数列，∴（T_n）_min=T₁=1-

1+2

22

=

1

4

，
∴

1

4

≤Tn＜1．
②解：设c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，
则c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

=

k+2

(2k-1)(1- k+2 2k+1 +k+1)

=

1

(2k-1)(1- 1 2k+1 )

=

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

），
∴

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=

n

k=1

2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
=2(1-

1

2k+1-1

)＜2，
∵

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立，∴m≥2．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法与错位相减法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．