Question

已知正四面体内接于半径为R的球，用一平面去截此正四面体和球，其截面如图，则球心到截面的距离为（　　）

• A．

  1

  3

  R
• B．

  1

  2

  R
• C．

  3

  3

  R
• D．

  3

  6

  R

Answer 1

分析：根据题意，题中的截面是经过正四面体的一个面的平面截得的．设正四面体的棱长为a，根据正三角形的性质和正三棱锥的定义及性质，利用勾股定理建立关系式算出R=

6

4

a，从而得出球心到截面的距离为

1

3

R．

解答：解：∵正四面体内接于半径为R的球，截面是等边三角形，
∴该截面是经过正四面体的一个面的平面截球得到的截面．
设正四面体的棱长为a，则底面正△BCD的中线BE=

3

2

a，
∴球心在高线AH上，BH=

2

3

BE=

3

3

a，
可得高AH=

AB2-BH2

=

6

3

a，
∵Rt△BOH中，BO=R，OH=AH-AO=

6

3

a-R，
∴由BO²=BH²+OH²，得R²=（

3

3

a）²+（

6

3

a-R）²
解之得R=

6

4

a，可得OH=

6

3

a-R=

6

12

a．
∴OH=

1

3

R，得球心到截面的距离为

1

3

R．
故选：A

点评：本题给出球的截面形状，求球心到截面的距离．着重考查了球内接多面体、正三角形的性质和正三棱锥的定义及性质等知识，属于中档题．