Question

3．已知奇函数f（x）、偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）求使f（2x）=mf（x）g（x）恒成立的实数m的值；
（3）探究y=f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．

Answer 1

分析 （1）运用奇偶性的定义，将x换成-x，运用函数方程的思想，可得f（x），g（x）的解析式；
（2）运用指数的运算性质，计算即可得到m=2；
（3）当a＞1时，f（x）在R上递增，当0＜a＜1时，f（x）在R上递减．运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号和下结论，几个步骤．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．①
可得f（-x）+g（-x）=a^-x，
由奇函数f（x）、偶函数g（x），可得f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
即有-f（x）+g（x）=a^-x，②
由①②可得，f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），
g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）；
（2）f（2x）=$\frac{1}{2}$（a^2x-a^-2x），
f（x）g（x）=$\frac{1}{4}$（a^2x-a^-2x），
由f（2x）=mf（x）g（x）恒成立，可得m=2；
（3）当a＞1时，f（x）在R上递增，当0＜a＜1时，f（x）在R上递减．
证明如下：设m＜n，则f（m）-f（n）=$\frac{1}{2}$（a^m-a^-m）-$\frac{1}{2}$（aⁿ-a^-n）
=$\frac{1}{2}$[（a^m-aⁿ）+$\frac{{a}^{m}-{a}^{n}}{{a}^{m+n}}$]=$\frac{1}{2}$（a^m-aⁿ）（1+$\frac{1}{{a}^{m+n}}$），
当a＞1时，0＜a^m＜aⁿ，即有f（m）-f（n）＜0，即为f（m）＜f（n）；
当0＜a＜1时，a^m＞aⁿ，即有f（m）-f（n）＞0，即为f（m）＞f（n）．
即有当a＞1时，f（x）在R上递增，当0＜a＜1时，f（x）在R上递减．

点评 本题考查函数的性质和应用，主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查指数函数的单调性和应用，属于中档题．