Question

8．在矩形ABCD中，AB=5，AC=7，现向该矩形ABCD内随机投一点P，则∠APB＞90°的概率为$\frac{5\sqrt{6}π}{96}$．

Answer 1

分析 由已知求出矩形的面积，以及使∠APB＞90°成立的P的对应的区域面积，利用几何概型求值．

解答 解：由题意，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=2\sqrt{6}$，矩形的面积为10$\sqrt{6}$，如图
而使∠APB＞90°成立的区域为以AB为直径的半圆，面积为$\frac{1}{2}π（\frac{5}{2}）^{2}=\frac{25π}{8}$，
由几何概型公式得到向该矩形ABCD内随机投一点P，则∠APB＞90°的概率为：$\frac{\frac{25π}{8}}{10\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}π}{96}$；
故答案为：$\frac{5\sqrt{6}π}{96}$．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足向该矩形ABCD内随机投一点P，则∠APB＞90°的区域面积，利用公式解答．