Question

19．已知函数f（x）=2|x（x-a+1）|+3x（a∈R），g（x）=x²-3x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），不等式4≤h（x）≤16对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．运用奇偶性的定义即可判断；
（2）由题意知，只需h_min（x）≥4，h_max（x）≤16，利用h（x）在x∈[1，2]上恒递增，可求得a的范围a≤$\frac{1}{2}$或a$≥\frac{7}{2}$；再对a分a$≥\frac{7}{2}$与a$≤\frac{1}{2}$两类讨论，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
理由如下：f（x）的定义域为R，f（-x）-f（x）=2|-x（-x-a+1）|-3x-2|x（x-a+1）|-3x
=2|x（x+a-1）|-2|x（x-a+1）|-6x不恒为0，
f（-x）+f（x）=2|-x（-x-a+1）|-3x+2|x（x-a+1）|+3x
=2|x（x+a-1）|+2|x（x-a+1）|不恒为0．
由奇偶性的定义可得f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）因为h（x）=f（x）+g（x）=x²+2x|x-a+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-a+1）^{2}+（a-1）^{2}，x≤a-1}\\{3（x-\frac{a-1}{3}）^{2}-\frac{（a-1）^{2}}{3}，x＞a-1}\end{array}\right.$，
当a≥1时，h（x）在（-∞，a-1）和（a-1，+∞）上均递增；
当a＜1时（如图），h（x）在（-∞，a-1）和（$\frac{a-1}{3}$，+∞）上递增，在（a-1，$\frac{a-1}{3}$）上递减．
由题意知，只需h_min（x）≥4，h_max（x）≤16，
首先，由h（x）在x∈[1，2]上恒递增，
则h_min（x）=h（1）=1+2|1-a+1|≥4，解得a≤$\frac{1}{2}$或a≥$\frac{7}{2}$；
其次，当a≥$\frac{7}{2}$时，h（x）在R上递增，故h_max（x）=h（2）=4a-4-4≤16，解得$\frac{7}{2}$≤a≤6；
当a$≤\frac{1}{2}$时，h（x）在[1，2]上递增，故h_max（x）=h（2）=12-4a+4≤16，解得0≤a≤$\frac{1}{2}$．
综上：0≤a≤$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$≤a≤6．

点评 本题考查函数奇偶性和单调性的判断和运用，着重考查分类讨论思想与数形结合思想、等价转化思想的综合应用，是难题．