Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值是-2，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）通过平面向量数量积的运算及三角函数的和角公式计算即可；
（2）通过$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos2x、|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cosx，利用换元法令t=cosx∈[0，1]可得f（x）=g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²．分0≤λ≤1时、λ＞1两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=cos2x，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）+（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=cos²$\frac{3x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$+2cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin²$\frac{3x}{2}$+sin²$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=2+2cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=2+2cos2x，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2（1+cos2x）}$，
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx＞0，
∴$\sqrt{2（1+cos2x）}$=$\sqrt{2（1+2co{s}^{2}x-1）}$=2cosx，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cosx；
（2）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cosx，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|
=cos2x-4λcosx
=2cos²x-4 λcosx-1
=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
令t=cosx∈[0，1]，则f（x）=g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²．
①当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，f（x）取得最小值，
g（λ）=-1-2λ²即-1-2λ²=-2，
∴λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②当λ＞1时，当且仅当t=1时f（x）取得最小值，g（1）=1-4λ，
即1-4λ=-2，∴λ=$\frac{3}{4}$＜1，不合题意，舍去；
综上所述，λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是一道平面向量与三角函数的综合题，考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．