Question

14．设函数f（x）=2x³⁺ax²+bx+1的图象在（-1，f（-1））处的切线方程为12x+y-2=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，然后利用切线方程，得到方程组，即可求解a，b．
（Ⅱ）求出极值点，通过列表判断函数的导函数符号，判断函数的单调性，然后求解极值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+2ax+b…（1分）
因为f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为12x+y-2=0
所以f'（-1）=-12，f（-1）=14…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（-1）=-12\\ f（-1）=14\end{array}\right.$…（4分）
即：$\left\{\begin{array}{l}6-2a+b=-12\\-2+a-b+1=14\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-12\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=2x³+3x²-12x+1，
所以f'（x）=6x²+6x-12
令f'（x）=6x²+6x-12=0，解得：x₁=-2，x₂=1…（8分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-1	0	+
f（x）	↑	21	↓	-6	↑

…（10分）
所以函数f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=21，
在x=1处取得极小值f（1）=-6．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．