Question

19．已知A、B、C是锐角三角形的内角.$\sqrt{3}$sinA和（-cosA）是方程x²-x+2a=0的两根．
（1）求角A；
（2）若$\frac{1+2sinBcosB}{co{s}^{2}B-si{n}^{2}B}$=-3，求tanB．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）已知等式分子利用完全平方公式化简，分母利用平方差公式化简，约分后分子分母除以cosB，利用同角三角函数间基本关系化简，整理即可求出tanB的值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$sinA和（-cosA）是方程x²-x+2a=0的两根，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，即2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）已知等式变形得：$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{（cosB+sinB）（cosB-sinB）}$=3，即$\frac{sinB+cosB}{cosB-sinB}$=3，
分子分母除以cosB得：$\frac{tanB+1}{1-tanB}$=3，
整理得：tanB=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，韦达定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．