Question

4．已知P为圆x²+y²=9上的任意一点，EF为圆N：（x-1）²+y²=1的任意一条直径，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围（　　）

• A． [-1，15]
• B． [-1，9]
• C． [3，15]
• D． [0，9]

Answer 1

分析 设出P（x，y）为圆x²+y²=9上的任意一点，利用数量积公式得到$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的不等式，求最值．

解答 解：由已知N（1，0），设P（x，y），EF为圆N：（x-1）²+y²=1的任意一条直径，如图
所以$\overrightarrow{NE}=-\overrightarrow{NF}$，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}+{\overrightarrow{NP}}^{2}-\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NP}$
=$-{\overrightarrow{NF}}^{2}+{\overrightarrow{NP}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=（x-1）²+y²-1=9-2x，x∈[-3，3]，
所以当x=-3时，9-2x最大值为15，当x=3时，9-2x的最小值为3；
所以$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围是[3，15]；
故选：C．

点评 本题考查了向量数量积的运算；解答本题的关键是设出P的坐标，将问题转化为求一次函数的最值问题．