Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的长轴长度与椭圆C₁的短轴长度相等，且一个焦点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
（1）求椭圆C₁，C₂的方程；
（2）若斜率为k的直线OM交椭圆C₂于点M，垂直于OM的直线ON交椭圆C₁于点N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，代入方程，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）当k=0，M为C₂长轴端点，N为C₁短轴的端点，|MN|=$\sqrt{2}$设直线OM：y=kx，代入x²++$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1，得（2+3k 2 ）x²=2，由此能求出|MN|的最小值．

解答 解：（1）椭圆C₁的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有a₁²=2c₁²，b₁=c₁，
且$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{2{{b}_{1}}^{2}}$=1，解得a₁=$\sqrt{2}$，b₁=1．
即有椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
由椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的长轴长度与椭圆C₁的短轴长度相等，
且一个焦点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），可得a₂=1，c₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b₂=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有椭圆C₂：x²+$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1；
（2）当k=0，M为C₂长轴端点，
则N为C₁短轴的端点，|MN|=$\sqrt{2}$．
当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x²+$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1，
整理得（2+3k 2 ）x²=2，即x²=$\frac{2}{2+3{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
所以|OM|²=x²+y²=$\frac{2+2{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$．
又由已知OM⊥ON，设ON：y=-$\frac{1}{k}$，
同理解得|ON|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
所以|MN|²=|OM|²+|ON|²=$\frac{2+2{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{2+2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$=（2+2k²）•$\frac{4+4{k}^{2}}{（2+3{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$，
又|MN|²-2=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}-2（2+3{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$
=$\frac{2{k}^{4}}{（2+3{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$＞0，即|MN|＞$\sqrt{2}$．
所以|MN|的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．