Question

16．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=4$\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$，以极点为坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的方程为ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\sqrt{2}$，求直线l被圆C截得的弦AB的长度．

Answer 1

分析 把圆C、直线l的极坐标方程都化为普通方程；求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出弦长AB的值．

解答 解：∵圆C的方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），
∴ρ=4cosθ+4sinθ，
两边同乘以ρ，得：
ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
∴普通方程为x²+y²-4x-4y=0，
其圆心C的坐标为（2，2），半径r=2$\sqrt{2}$；
又直线l的方程为ρsin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\sqrt{2}$，
化为普通方程是x-y-2=0；
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴弦长AB=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为普通方程的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是基础题目．