Question

5．已知AB是⊙：x²+y²=2的长度等于2的动弦，AB的中点为M，点N在直线y=1上，若∠ONM=30°，则点N的横坐标的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根据圆的切线的性质，可知当过N点作圆的切线，切线与ON所成角是圆上的点与ON所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与ON构成直角三角形，因为切线与ON所成角大于等于30°，所以ON小于等于半径的2倍，再用含x₀的式子表示ON，即可求出x₀的取值范围．

解答 解：∵AB是⊙：x²+y²=2的长度等于2的动弦，AB的中点为M，
∴M的轨迹方程为⊙C：x²+y²=1．
设N（x₀，1），过N作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠ONR≥∠ONR=30°．
反过来，如果∠ONR≥30°，
则⊙C上存在一点M使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点M，使∠ONM=30°，则∠ONR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|ON|＞2时不成立，
∴|ON|≤2．
又∵|ON|²=x₀²+1=x₀²+（2-2x₀）²=5x₀²-8x₀+4
∴x₀²+1≤4，
解得，-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$．
∴x₀的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
故答案为：[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．