Question

1．已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a∈R）．
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并直接写出函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），讨论函数y=F（x）在区间[-1，3]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）化简方程f（x）-g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间[-1，3]上实数解的个数，即函数零点的个数．

解答 解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或x=$\frac{a}{3}$，而二次函数g（x）在x=$\frac{a-1}{2}$处有极大值，
∴$\frac{a-1}{2}$=a或$\frac{a-1}{2}$=$\frac{a}{3}$；
综上：a=3或a=-1．
当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（-∞，1]，[3，+∞），减区间是（1，3），
当a=-1时，y=f（x）的单调增区间是（-∞，-1）或（-$\frac{1}{3}$，+∞），减区间是（-1，-$\frac{1}{3}$）；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x（x-a）²+x²-（a-1）x-a，
=x（x-a）²+（x-a）（x+1），
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]，
令h（x）=x²+（1-a）x+1，则△=（a+1）（a-3）
1°当-1＜a＜3时，△＜0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a∈[-1，3]，满足题意，
即原方程有一解，函数y=F（x）在区间[-1，3]有唯一零点；
2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有2个零点；
3°当a=-1时，△=0，h（x）=0的解为x=-1，故原方程有一解，x=-1，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有1个零点
4°当a＞3时，△＞0，由于h（-1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13-3a
若13-3a＜0，即a＞$\frac{13}{3}$时，h（x）=0在[-1，3]上有一解，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有1个零点；
若13-3a=0，即a=$\frac{13}{3}$时，h（x）=0在[-1，3]上有两解，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有2个零点；
若13-3a＞0，即3＜a＜$\frac{13}{3}$时时，h（x）=0在[-1，3]上两解，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有2个零点；
5°当a＜-1时，△＞0，由于h（-1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13-3a＞0，
h（x）=0在[-1，3]上有一解，故函数y=F（x）在区间[-1，3]有1个零点；
综上可得：当3≤a≤$\frac{13}{3}$时时，函数y=F（x）在[-1，3]上有2个零点；当a＜3或a＞$\frac{13}{3}$时，函数y=F（x）在[-1，3]上有有1个零点．

点评 本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力，属于难题．