Question

4．已知F₁、F₂是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，则双曲线的渐近线方程为$y=±\sqrt{2}x$．

Answer 1

分析 先求出|PF₂|的值，Rt△PF₁F₂ 中，由tan∠PF₁F₂ =$\frac{{b}^{2}}{2c}$=tan30°，求出b的值，进而得到渐近线方程．

解答 解：把x=c代入双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得|y|=|PF₂|=b²，
Rt△PF₁F₂中，tan∠PF₁F₂ =$\frac{{b}^{2}}{2c}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴渐近线方程为$y=±\sqrt{2}x$．
故答案为：$y=±\sqrt{2}x$．

点评 本题考查了双曲线的定义及其几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键．