Question

12．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两个焦点，点P是该双曲线和圆x²+y²=a²+b²的一个交点，若sin∠PF₁F₂=3sin∠PF₂F₁，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知条件推导出△PF₁F₂中，|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，∠F₁PF₂=90°，|PF₁|=a，|PF₂|=3a，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两个焦点，
∴双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∵圆方程为x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²，
∴该半径等于c，且圆经过F₁和F₂，
∵点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$与圆x²+y²=a²+b²的交点，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，∴∠F₁PF₂=90°，
∵sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，
∴|PF₂|=3|PF₁|．
设|PF₁|=x，则|PF₂|=3x，
由双曲线性质得3x-x=2x=2a，
∴|PF₁|=a，则|PF₂|=3a，
由勾股定理得（a）²+（3a）²=（2c）²，
解得c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：B．

点评 本题给出双曲线与圆相交，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识，属于基础题．