Question

2．有标号为1，2，3，4，5，6的六个小球，从中选出四个放入标号为1，2，3，4的四个
盒中，每盒只放一个小球．
（1）求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法数；
（2）求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法数．
（3）若不许空盒且将六个小球都放入盒中，求所有不同的放法数．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：①、奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，②、将剩余的4个小球中的2个放入余下的两个盒中，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分两类讨论：①取出1个奇数号小球和3个偶数号小球共4球放入，②取出2个奇数号小球和2个偶数号小球共4球放入，分别求出每一类的情况数目，由分类计数原理计算可得答案；
（3）由于盒不空且6个小球都要放入，所以考虑先对6个小球进行先分组再放入盒中，分2种情况讨论：①将6个小球分成1，1，1，3四组，再放入四个盒中，②将6个小球分成1，1，2，2四组，再放入四个盒中，分别求出每一类的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）∵奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球
∴先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒，有6种放法
再将剩余的4个小球中的2个放入余下的两个盒中，有12种放法
∴不同放法数为N₁=6×12=72种；…（4分）
（2）∵奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，
∴需分两类讨论：
①取出1个奇数号小球和3个偶数号小球共4球放入，共有C₃¹C₂¹A₃³=36种；
②取出2个奇数号小球和2个偶数号小球共4球放入，A₃²A₃²=36种
∴所有不同放法数为N₂=36+36=72种；…（8分）
（3）由于盒不空且6个小球都要放入，所以考虑先对6个小球进行先分组再放入盒中，
分2种情况讨论：
①将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分组方法数为C₆³，再放入四个盒中有A₄⁴种，
②将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分组方法数为$\frac{1}{2}$C₆²C₄²，再放入四个盒中有A₄⁴种，
∴所有不同放法数为N₃=C₆³×A₄⁴+$\frac{1}{2}$C₆²C₄²×A₄⁴=1560种．…（12分）

点评 本题考查排列组合的综合运用，涉及分步、分类计数原理的应用，关键要认真分析题意，确定满足题意的分类或分步分析的步骤．