Question

8．已知数列{a_n}是等差数列，（1+$\frac{x}{2}$）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+$\frac{x}{2}$）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$与$\frac{1}{3}$的大小并证明．

Answer 1

分析 （1）由二项式定理和等差数列可得m的值，由二项式系数可得；
（2）由（1）知a_n=3n-2，验证可得当n=2或3时，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$＞$\frac{1}{3}$，猜测结论并由数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由二项式定理可得（1+$\frac{x}{2}$）^m=1+${C}_{m}^{1}$（$\frac{1}{2}x$）+${C}_{m}^{2}$（$\frac{1}{2}x$）²+…+${C}_{m}^{m}$（$\frac{1}{2}x$）^m，
由题意可得a₁=1，a₂=$\frac{m}{2}$，a₃=$\frac{m（m-1）}{8}$，
由数列{a_n}是等差数列可得2a₂=a₁+a₃，解得m=8，或m=1（舍去）
∴展开式中第五项的二项式系数最大，
∴二项式系数最大的项为T₅=${C}_{8}^{4}$（$\frac{1}{2}x$）4=$\frac{35}{8}$x⁴；
（2）由（1）知a_n=3n-2，
当n=2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$=$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{69}{140}$＞$\frac{1}{3}$
当n=3时，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{9}}$=$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{25}$＞$\frac{1}{3}$
猜测当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$＞$\frac{1}{3}$，下面由数学归纳法证明，
①由上述过程可知当n=2或3时，结论成立，
②假设n=k时，结论成立，即$\frac{1}{{a}_{k}}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}}}$＞$\frac{1}{3}$，
则当n=k+1时，$\frac{1}{{a}_{k+1}}$+$\frac{1}{{a}_{（k+1）+1}}$+…+$\frac{1}{{a}_{（k+1）^{2}}}$
=（$\frac{1}{{a}_{k}}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}}}$）+（$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}+1}}$+$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{（k+1）^{2}}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$）
＞$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}+1}}$+$\frac{1}{{a}_{{k}^{2}+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{（k+1）^{2}}}$-$\frac{1}{{a}_{k}}$）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{2k+1}{3（k+1）^{2}-2}$-$\frac{1}{3k-2}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{3{k}^{2}-7k-3}{[3（k+1）^{2}-2][3k-2]}$，
由k≥3可得3k²-7k-3＞0，[3（k+1）²-2][3k-2]＞0，
∴$\frac{1}{{a}_{k+1}}$+$\frac{1}{{a}_{（k+1）+1}}$+…+$\frac{1}{{a}_{（k+1）^{2}}}$＞$\frac{1}{3}$
综合①②可得，当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{{n}^{2}}}$＞$\frac{1}{3}$

点评 本题考查不等式的证明，涉及数学归纳法和二项式定理以及等差数列的性质，属难题．