Question

16．正方形ABCD中，M为AD中点，在线段AB上任取一点P，在线段DC上任取一点Q，则么∠PMQ为锐角的概率为（　　）

• A． $\frac{3-2ln2}{4}$
• B． $\frac{1+2ln2}{4}$
• C． $\frac{3π}{16}$
• D． $\frac{16-3π}{16}$

Answer 1

分析 利用两角和的正切公式，利用线性规划，以及几何概型的概率公式即可得到结论

解答 解：设正方形的边长为2，AP=x，DQ=y，
则0≤x≤，2，0≤y≤2，平面区域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}对应的区域面积S=4．
则tan∠QMD=$\frac{DQ}{DM}$=y，tan∠AMP=$\frac{AP}{AM}$=x，
则tan（∠QMD+∠AMP）=$\frac{tan∠QMD+tan∠AMP}{1-tan∠QMDtan∠AMP}$=$\frac{x+y}{1-xy}$，
若∠PMQ为锐角，则等价为∠QMD+∠AMP是钝角，
即tan（∠QMD+∠AMP）=$\frac{x+y}{1-xy}$＜0，
即1-xy＜0，即y＞$\frac{1}{x}$，
作出对应的平面区域如图：
当y=2时，由y=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，满足y＞$\frac{1}{x}$的部分如图阴影部分，其面积为：${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}（2-\frac{1}{x}）dx$=（2x-lnx）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{2}$=3-2ln2，
由几何概型公式得到∠PMQ为锐角的概率为$\frac{3-ln2}{4}$；

故选：A．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件将∠PMQ为锐角进行转化，利用积分求出对应区域的面积是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．