Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=3a，c=2，则当角A取最大值时，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到．

解答 解：由于b=3a，c=2，
由余弦定理，可得，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9{a}^{2}+4-{a}^{2}}{12a}$
=$\frac{1}{3}$（2a+$\frac{1}{a}$）≥$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2a•\frac{1}{a}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
当且仅当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosA取得最小值$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，A取得最大值．
则面积为$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•3a•2sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．