Question

5．已知函数f（x）=-x²+ax，g（x）=2lnx-b，且两函数在x=2处有相同的切线．
（1）求两函数的解析式；
（2）是否存在实数m，使得函数y=f（x）+m的图象与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，切点，代入计算即可得到f（x），g（x）的解析式；
（2）假设存在实数m，使得函数y=f（x）+m的图象与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点，即方程-x²+5x+m=2lnx+6-2ln2有且仅有三个不同的根，即m=x²-5x+2lnx+6-2ln2有且仅有三个不同的根，求出导数，求得单调区间和极值，令m介于极小值和极大值之间．

解答 解：（1）f′（x）=-2x+a；g′（x）=$\frac{2}{x}$，
∵两函数在x=2处有相同的切线，
∴-4+a=1，解得a=5，
∴f（x）=-x²+5x，
∴切点为（2，6），
∴6=2ln2-b，
∴b=2ln2-6，
∴g（x）=2lnx-2ln2+6；
（2）假设存在实数m，使得函数y=f（x）+m的图象
与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点，
即方程-x²+5x+m=2lnx+6-2ln2有且仅有三个不同的根，
即m=x²-5x+2lnx+6-2ln2有且仅有三个不同的根，
∵$m′=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，
令m′=0得$x=\frac{1}{2}或x=2$，
当$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞2$时，m′＞0；当$\frac{1}{2}＜x＜2$时，m′＜0，
∴当$x=\frac{1}{2}$时m有极大值$\frac{15}{4}$-4ln2；当x=2时m有极小值0，
∵m=x²-5x+2lnx+6有且仅有三个不同的根，
∴0＜m＜$\frac{15}{4}$-4ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数单调性的运用，考查构造函数，运用导数，注意函数方程的转化思想，属于中档题．