Question

15．等差数列{a_n}中，已知a₁=20，a₅=12．
（1）求通项a_n；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=-n²+21n．由a_n≥0，解得n≤11，可得T_n=S_n．当n≥12时，T_n=2S₁₁-S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=20，a₅=12，
∴20+4d=12，解得d=-2．
∴a_n=20-2（n-1）=-2n+22；
（2）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=$\frac{n（-2n+22+20）}{2}$=-n²+21n．
由a_n=-2n+22≥0，解得n≤11，
则T_n=S_n=-n²+21n．
当n≥12时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-a₁₃-…=2S₁₁-S_n=2（-11²+21×11）-（-n²+21n）
=n²-21n+220，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+21n，（1≤n≤11）}\\{{n}^{2}-21n+220，n≥12}\end{array}\right.$，（n∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．