Question

9．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时花费12万元；保险费，养路费，燃油费等各种费用每年1.05万元，维修费用共0.05x²+0.15x万元；使用x年后，轿车的价值为（10.75-0.8x）万元．设这辆家庭轿车的年平均支出为y万元，则由以上条件，解答以下问题：
（1）写出y关于的函数关系式；
（2）试确定一辆家庭轿车使用多少年时年平均支出最低．并求出这个最低支出．

Answer 1

分析 （1）由题意知$y=\frac{{12+1.05x+（0.05{x^2}+0.15x）-（10.75-0.8x）}}{x}$，再化简即可；
（2）由（1）得 $y=0.05x+\frac{1.25}{x}+2$，从而利用基本不等式可得$0.05x+\frac{1.25}{x}+2$$≥2\sqrt{0.05x×\frac{1.25}{x}}+2=2.5$，从而解得．

解答 解：（1）由题设知，
$y=\frac{{12+1.05x+（0.05{x^2}+0.15x）-（10.75-0.8x）}}{x}$
=$\frac{{0.05{x^2}+2x+1.25}}{x}$（x＞0）；
（2）由（1）得  $y=0.05x+\frac{1.25}{x}+2$，
由均值不等式知：y=$0.05x+\frac{1.25}{x}+2$$≥2\sqrt{0.05x×\frac{1.25}{x}}+2=2.5$（万元），
（当且仅当$0.05x=\frac{1.25}{x}$，即x=5时取等号），
使用5年时，在这辆轿车上的年平均支出费用最低，为2.5万元．

点评 本题考查了函数与基本不等式在实际问题中的应用，注意由实际问题出发对定义域的确定，属于中档题．