Question

13．已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

Answer 1

分析 （1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）根据扇形的面积公式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）设弧长为l，弓形面积为S，则α=60°=$\frac{π}{3}$，…（1分）
R=10，l=$\frac{π}{3}$×10=$\frac{10π}{3}$（cm），…（3分）
S=S_扇-S_△=$\frac{1}{2}$×$\frac{10π}{3}$×10-$\frac{\sqrt{3}}{4}×1{0}^{2}$=$\frac{50}{3}$π-$\frac{50\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{50}{3}$π-25$\sqrt{3}$）（cm²）…（6分）
（2）设扇形的半径为R，弧长为l，
则l+2R=20，即l=20-2R，（0＜R＜10）．
∴扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lR=$\frac{1}{2}$（20-2R）R=-R²+10R=-（R-5）²+25．
∴当R=5cm时，S有最大值25 cm²，…（10分）
此时l=10cm，a=$\frac{l}{R}$=2 rad．
因此，当α=2rad时，扇形的面积取最大值…（12分）

点评 本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．