Question

3．设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若f（1）=0，a＞b＞c，求证：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．
（2）若f（1）=-$\frac{a}{2}$，3a＞2c＞2b，求证：
①a＞0，且-3＜$\frac{b}{a}$＜-$\frac{3}{4}$；
②函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

分析 （1）先求出c=-a-b，a＞0，c＜0，再利用分析法由结论入手进行证明即可；
（2）①先求出a＞0，b＜0，可得-3a＜b＜-$\frac{3}{4}$a．从而证出结论；②先求出f（0），f（2），通过讨论c的正负，从而证出结论．

解答 （1）证明：∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，
∴c=-a-b，a＞0，c＜0，
要证$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，只需证b²-ac＜3a²，
只需证b²+a（a+b）＜3a²，
只需证2a²-ab-b²＞0，
只需证（a-b）（2a+b）＞0，
只需证（a-b）（a-c）＞0．
因为a＞b＞c，所以a-b＞0，a-c＞0，
所以（a-b）（a-c）＞0显然成立．
故原不等式成立．
（2）证明：①f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，即3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，则a＞0，b＜0．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，
所以3a＞-3a-2b＞2b．可得-3a＜b＜-$\frac{3}{4}$a．
因为a＞0，所以-3＜$\frac{b}{a}$＜-$\frac{3}{4}$．
②f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c，
i）当c＞0时，f（0）=c＞0且f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，
所以函数f（x）在（0，1）内至少有一个零点．
ii）当c≤0时，f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0且f（2）=a-c＞0，
所以函数f（x）在（1，2）内至少有一个零点．
综上，f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的证明，是一道中档题．