Question

2．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-$\sqrt{3}$，其离心率e是方程2x²-3$\sqrt{3}$x+3=0的根．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A₁，A₂，设直线x=4与x轴交于点D，动点M是直线x=4上异于点D的任意一点，直线A₁M，A₂M与椭圆C交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）运用几何意义求解a，b，c即可得出方程．
（2）根据题目得出M（4，m）（m∈R，且m≠0）P（x₁，y₁）．Q（x₂，y₂），联合方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{6}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{2}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 化简求解即可得出P（$\frac{18-2{m}^{2}}{{m}^{2}+9}$，$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$），Q（$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$）．利用直线的方程的求解得出直线PQ的方程为y═$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x-1），利用可判断直线PQ恒过定点，且定点坐标为（1，0）．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）意得a-c=2-$\sqrt{3}$，
e的2x²-3$\sqrt{3}$x+3=0所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b²=1
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）由（1）知椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴A₁（-2，0），A₂（2，0）
M（4，m）（m∈R，且m≠0）P（x₁，y₁）．Q（x₂，y₂）
k${\;}_{{A}_{1}M}$=$\frac{m}{6}$，k${\;}_{{A}_{2}m}$=$\frac{m}{2}$
∴A₁M：y=$\frac{m}{6}$（x+2），A₂M：y=$\frac{m}{2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{6}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$把y代入得出：（m²+9）x²+4m²x+4m²-36=0，
∴-2x₁=$\frac{4{m}^{2}-36}{{m}^{2}+9}$，∴x₁=$\frac{18-2{m}^{2}}{{m}^{2}+9}$，y=$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$
∴P（$\frac{18-2{m}^{2}}{{m}^{2}+9}$，$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{2}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 消去y得（m²+1）x²-4m²x+4m²-4=0，
∴2x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+1}$，∴x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$，Q（$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$）．
∴k_PQ=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（m$≠±\sqrt{3}$），
∴直线PQ的方程为y-$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$），
∴y=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$）$-\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
化简得出：y=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x-1），
∴直线PQ过（1，0），
当m=$\sqrt{3}$，P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），m=-$\sqrt{3}$
线PQ过定点（1，0）
知，直线PQ恒过定点，且定点坐标为（1，0）．

点评 通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过方程与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．