Question

12．计算：S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{10{0}^{2}}+\frac{1}{10{1}^{2}}}$的值为$\frac{10200}{101}$．

Answer 1

分析 由题意设${a}_{n}=1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}$，同分后化简凑成完全平方式并求出$\sqrt{{a}_{n}}$，再利用裂项相消法求出式子S的值．

解答 解：由题意设${a}_{n}=1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}$=1+$\frac{{（n+1）}^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$
=1+$\frac{2{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=1+$\frac{2n（n+1）+1}{{n}^{2}{（n+1）}^{2}}$=1+$\frac{2}{n（n+1）}+$$\frac{1}{{n}^{2}{（n+1）}^{2}}$
=$[1+\frac{1}{n（n+1）}]^{2}$，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{10{0}^{2}}+\frac{1}{10{1}^{2}}}$
=100+（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{100}-$$\frac{1}{101}$）
=100+1-$\frac{1}{101}$=$\frac{10{1}^{2}-1}{101}=\frac{10200}{101}$，
故答案为：$\frac{10200}{101}$．

点评 本题考查构造数列法，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查化简、变形能力，属于中档题．