Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在第一、四象限交于A，B两点，若椭圆的左焦点为F，当△AFB的周长最大时，求双曲线的离心率（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 △AFB的周长最大时，AB经过右焦点，所以A的坐标是（2，3），可得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，△AFB的周长最大时，AB经过右焦点，所以A的坐标是（2，3），
所以双曲线中$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
所以双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．