Question

11．在边长为1的正△ABC中，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{EC}$，AD与BE相交于点F．
（1）求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$的值；
（2）若$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FD}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）通过题意可得AD⊥BC，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，利用$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，代入计算即可；
（2）通过计算可得$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$=-$\frac{λ+2}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AC}$，记$\overrightarrow{BF}$=μ$\overrightarrow{BE}$，通过计算可得$\overrightarrow{BF}$=μ（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AE}$）=-μ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，根据平面向量的基本定理计算即得结论．

解答 解：（1）由题意，D为BC的中点，
而△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，
设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，又$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{EC}$，
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{b}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=-$\frac{1}{4}$；
（2）根据题意：$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$
=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AD}$
=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
=-$\frac{λ+2}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{2（1+λ）}$$\overrightarrow{AC}$，
记$\overrightarrow{BF}$=μ$\overrightarrow{BE}$，则$\overrightarrow{BF}$=μ（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AE}$）=-μ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
根据平面向量的基本定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{λ+2}{2（1+λ）}=-μ}\\{\frac{λ}{2（1+λ）}=\frac{2μ}{3}}\end{array}\right.$，
解得：λ=4．

点评 本题考查平面向量数乘的运算及其几何意义，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．