Question

1．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立．已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax．
（ I ）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（ II ）若f（0）=1，在区间[-1，1]上，解关于x的不等式$f（x）＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax，我们易得，x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式．
（Ⅱ）由f（0）=1知a=2，得到f（x）的表达式，分类讨论，根据对数函数的单调性，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x-1）成立，
可得f（x+2）=f（x），∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+2），-1≤x≤0}\\{lo{g}_{a}（-x+2），0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由f（0）=1知a=2，
∴当-1≤x≤0时，f（x）=log₂（x+2），
∴log₂（x+2）＞$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，
∴x+2＞$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$-2＜x≤0，
∴当0＜x≤1时，f（x）=log₂（-x+2），
∴log₂（-x+2）＞$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，
∴-x+2＞$\sqrt{2}$，
即0＜x＜2-$\sqrt{2}$，
综上所述，$\sqrt{2}$-2＜x＜2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，属于中档题．