Question

7．化简、求值：
（I）sin140°（$\sqrt{3}$-tan10°）；
（II）已知α、β都是锐角，tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求sin（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （I）把$\sqrt{3}$转化成tan60°，进而切化弦，整理化简．
（II）先分别求得sinα，cosα和cosβ的值，进而利用两角和公式求得sin（α+β）的值，最后利用sin（α+2β）=sin（α+β+β）求得答案．

解答 解：（I）原式=sin40°（$\frac{sin60°}{cos60°}$-$\frac{sin10°}{cos10°}$）=sin40°•$\frac{sin50°}{\frac{1}{2}cos10°}$=$\frac{sin40°•cos40°}{\frac{1}{2}•cos10°}$=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1．
（II）依题意可知sinα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，cosα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$，cosβ=$\frac{3}{10}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$-$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$，
∴sin（α+2β）=sin（α+β+β）=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{4\sqrt{2}+63\sqrt{5}}{500}$．

点评 本题主要考查了两角和公式的运用，诱导公式的化简求值，同角三角函数的应用．综合考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．