Question

13．已知函数$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$．
（1）求曲线y=f（x）在点$（{\frac{1}{2}，f（{\frac{1}{2}}）}）$处的切线方程；
（2）求f（x）在$[{\frac{1}{4}，e}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，求出在x=$\frac{1}{2}$处的切线的斜率，从而求出切线方程；（2）先求出函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，e]上的单调性，从而求出在区间上的最值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=2，f（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2，
所以切线方程为：y+1-ln2=2（x-$\frac{1}{2}$），
即：y=2x-2+ln2．
（2）f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]单调递增；在[1，e]单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=0，f（$\frac{1}{4}$）=ln4-3，f（e）=-$\frac{1}{e}$，
∵ln4-3＜-$\frac{1}{e}$，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{4}$）=ln4-3．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查曲线的切线方程，考查导数的应用，本题是一道中档题．