Question

18．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$c•cosB+\sqrt{3}bsinC=a$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理可得 sinCcosB+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA，化简可得$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC．求得tanC的值，可得C的值；
（2）运用正弦定理，可得a=4sinA，b=4sinB，由三角形的面积公式，结合两角和差的正弦公式，化简整理，运用正弦函数的图象和性质，计算即可得到取值范围．

解答 解：（1）锐角△ABC中，∵ccosB+$\sqrt{3}$bsinC=a，
∴由正弦定理可得：sinCcosB+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA，
即sinCcosB+$\sqrt{3}$sinBsinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
即$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC．
∵sinB≠0，∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，C=$\frac{π}{6}$；
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}$=4，
即有a=4sinA，b=4sinB，A+B=$\frac{5π}{6}$，
设A=$\frac{5π}{12}$-α，B=$\frac{5π}{12}$+α，
由0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，可得-$\frac{π}{12}$＜α＜$\frac{π}{12}$，
△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$•16sinAsinB
=4sinAsinB=4sin（$\frac{5π}{12}$-α）sin（$\frac{5π}{12}$+α）
=4（sin$\frac{5π}{12}$cosα-cos$\frac{5π}{12}$sinα）（sin$\frac{5π}{12}$cosα+cos$\frac{5π}{12}$sinα）
=4（sin²$\frac{5π}{12}$cos²α-cos²$\frac{5π}{12}$sin²α）
=4（sin²$\frac{5π}{12}$-sin²α）=4（$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$-sin²α），
由-$\frac{π}{12}$＜α＜$\frac{π}{12}$，可得sinα∈（-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$），
sin²α∈[0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$），
即有S_△ABC∈（2$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查正弦定理，三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查三角形的面积公式及取值范围，运用正弦函数的单调性，属于中档题．