Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，已知椭圆上存在点，使，且这样的点有且只有两个.

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，是坐标原点，求的面积取得最大值时的椭圆方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用椭圆的对称性可知满足条件的点有且只有两个,则点位于椭圆的上下顶点,则根据椭圆的几何性质求解即可；

（2）设直线,椭圆的方程为,二者联立可得,且,根据韦达定理可得,由可得,即,代入中,再利用均值定理求解可得,代回求得点,进而求得即可.

解:（1）由题,根据椭圆的对称性可知,满足条件的点有且只有两个,

则点位于椭圆的上下顶点,

则离心率

（2）易知直线不与轴重合,设,,,

由（1）,因为,所以,所以设椭圆的方程为,

联立,消去可得,

则,即①

所以②

因为,所以,

代入②式可得,

所以,

当且仅当,即时,的面积有最大值,

不妨令,则,,代入,可得,满足①式,

故椭圆的方程为.