Question

（2011•朝阳区二模）已知函数f(x)=2sinx•sin(

π

2

+x)-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(

x0

2

)=

2

3

，x0∈(-

π

4

，

π

4

)，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为

2

sin(2x+

π

4

)，由此求得周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）解法一：由已知得sinx0+cosx0=

2

3

，平方可得sin2x0=-

7

9

，再根据2x0∈(-

π

2

，

π

2

)，利用同角三角函数的基本关系求出cos2x₀的值．
解法二：由已知得sin(x0+

π

4

)=

1

3

，根据角x0+

π

4

的范围，利用同角三角函数的基本关系求出cos(x0+

π

4

)的值，由cos2x0=sin(2x0+

π

2

)=sin[2(x0+

π

4

)]，再利用二倍角公式运算求出结果．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin²x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=

2

sin(2x+

π

4

)．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（5分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），…（6分）
可得 2kπ-

3π

4

≤2x≤2kπ+

π

4

，
即 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

， kπ+

π

8

]（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得f(

x0

2

)=sinx0+cosx0=

2

3

，…（9分） 
 两边平方，可得 1+sin2x0=

2

9

，
所以，sin2x0=-

7

9

． …（11分） 
因为x0∈(-

π

4

，

π

4

)，所以2x0∈(-

π

2

，

π

2

)，
所以，cos2x0=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

．…（13分）
解法二：因为x0∈(-

π

4

，

π

4

)，
所以x0+

π

4

∈(0，

π

2

)．…（9分）
又因为f(

x0

2

)=

2

sin(2•

x0

2

+

π

4

)=

2

sin(x0+

π

4

)=

2

3

，
解得 sin(x0+

π

4

)=

1

3

．…（10分）
所以，cos(x0+

π

4

)=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．…（11分）
所以，cos2x0=sin(2x0+

π

2

)=sin[2(x0+

π

4

)]=2sin(x0+

π

4

)cos(x0+

π

4

)
=2•

1

3

•

2 2

3

=

4 2

9

．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．