Question

（2011•朝阳区二模）设函数f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．因为f′(x)=

1

x

+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，由此能求出f（x）在[1，e]上的最小值．
（Ⅱ）法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，设g（x）=2x²-2ax+1，则在区间[

1

2

，2]上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．由抛物线g（x）=2x²-2ax+1开口向上，所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．由此能求出实数a的取值范围．
法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，则在区间[

1

2

，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立．因为x＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．设g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函数g（x）在区间[

1

2

，2]的最大值．由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）因为f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1．由a≤0，a＞0及判别式△的符号分别进行讨论，求解函数f（x）的极值点．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
因为f′(x)=

1

x

+2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1．
所以f（x）在[1，e]上的最小值为1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

设g（x）=2x²-2ax+1，…（4分）
依题意，在区间[

1

2

，2]上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）
注意到抛物线g（x）=2x²-2ax+1开口向上，
所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．…（6分）
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，得a＜

9

4

，
由g(

1

2

)＞0，即

1

2

-a+1＞0，得a＜

3

2

，
所以a＜

9

4

，
所以实数a的取值范围是(-∞，

9

4

)．…（8分）
解法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（4分）
依题意得，在区间[

1

2

，2]上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立．
又因为x＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．…（5分）
设g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函数g（x）在区间[

1

2

，2]的最大值．
又因为g′(x)=2-

1

x2

，
由g′(x)=2-

1

x2

＞0，解得x＞

2

2

；
由g′(x)=2-

1

x2

＜0，解得0＜x＜

2

2

．
所以函数g（x）在区间(

2

2

，2)上递增，在区间(

1

2

，   

2

2

)上递减．
所以函数g（x）在x=

1

2

，或x=2处取得最大值．
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，所以2a＜

9

2

，a＜

9

4

所以实数a的取值范围是(-∞，

9

4

)．…（8分）
（Ⅲ）因为f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f'（x）＞0，
此时，函数f（x）没有极值点；                     …（9分）
②当a＞0时，
（ⅰ）当△≤0，即0＜a≤

2

时，
在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，
这时f'（x）≥0，
此时，函数f（x）没有极值点；        …（10分）
（ⅱ）当△＞0，即a＞

2

时，
易知，当

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

时，
h（x）＜0，这时f'（x）＜0；
当0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

时，
h（x）＞0，这时f'（x）＞0；
所以，当a＞

2

时，x=

a- a2-2

2

是函数f（x）的极大值点；
x=

a+ a2-2

2

是函数f（x）的极小值点．…（12分）
综上，当a≤

2

时，函数f（x）没有极值点；
当a＞

2

时，x=

a- a2-2

2

是函数f（x）的极大值点；
x=

a+ a2-2

2

是函数f（x）的极小值点．…（13分）

点评：本题考查函数最小值、实数取值范围、函数极值的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是分类不清导致出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．