Question

（2013•内江一模）设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有

（2）（3）（4）

（1）函数f（x）在R上有最小值；
（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；
（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；
（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b²＞4|c|；
（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．

Answer 1

分析：（1）当b＜0时，可以根据函数的值域加以判断函数f（x）在R上是否有最小值；
（2）当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性；
（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，可以根据函数图象的平移解决；
（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即可得到结论；
（5）根据f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），结合二次函数的图象可得结果．

解答：解：（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；
（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

，知函数f（x）在R上是单调增函数；
（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（-x）=-f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．
（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，
其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，
即b²-4c＞0，b²＞4|c|；
故（4）正确；
（5）f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0  -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．所以（5）不正确．

故答案为：（2）（3）（4）．

点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值等问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．