Question

（2013•湛江一模）甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为

7

8

．
（1）求P．  
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．

Answer 1

分析：（1）由至少有1人面试合格概率，利用对立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互独立事件同时发生的概率列式求解；
（2）由题意可知签约人数ξ的取值分别是0，1，2，3，求出每种情况的概率，直接利用期望公式求期望．

解答：解：（1）至少1人面试合格概率为

7

8

（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1-

7

8

=

1

8

．
所以（1-P）³=

1

8

，即P=

1

2

．
（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3
签约人数为0的概率：都不合格（1-

1

2

）³=

1

8

，
甲不合格，乙丙至少一人不合格

1

2

×（1-

1

2

×

1

2

）-（1-

1

2

）³=

1

4

，
签约人数为0的概率：

1

8

+

1

4

=

3

8

；
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：

1

2

×（1-

1

2

×

1

2

）=

3

8

；
签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：

1

2

×

1

2

×（1-

1

2

）=

1

8

；
签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（

1

2

）³=

1

8

．
分布表：

签约人数	0	1	2	3
概率	3 8	3 8	1 8	1 8

数学期望：Eξ=0×

3

8

+1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=1．

点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列与期望，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．