Question

13．如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，且点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）当二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，求∠BAE的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出BF⊥AE，BC⊥AB，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．
（2）以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，∠BAE的大小．

解答 证明：（1）∵点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上，∴BF⊥平面ACE
∵AE?平面ACE，∴BF⊥AE，
∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，
平面ABCD∩平面ABE=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．
解：（2）以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（0，2，2），
设E（a，b，0），则$\overrightarrow{AE}$=（a，b，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，2），
设平面AEC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=ax+bx=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=a，得$\overrightarrow{n}$=（-b，a，-a），
又平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-b|}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a²=b²，①
又∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∵AE⊥BE，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$=a²+b（b-2）=0，②
联立①②，得b=0，（舍，b=1，∴a²=b²=1，
∴AE=BE=2，∴$∠BAE=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．