Question

5．在函数y=lnx的图象上取点P_n（n，ln n）（n∈N^*），记线段P_nP_n+1的斜率为k_n，求证：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{n（n+2）}{2}$．

Answer 1

分析 利用两点的连线的斜率公式得出k_n，再利用构造辅助函数，利用函数单调性求得函数的最小值，根据等差数列前n项和公式，即可证明不等式成立．

解答 解：证明：由题意可知线段P_nP_n+1的斜率为k_n，k_n=$\frac{ln（n+1）-lnn}{n+1-n}$=ln（1+$\frac{1}{n}$），
构造辅助函数g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x≥1），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x+1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是f（1）=0，
∴lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
∴ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{2（1+\frac{1}{n}-1）}{1+\frac{1}{n}+1}$=$\frac{2}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{2n+1}{2}$，
$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{（3+2n+1）n}{2}$）=$\frac{n（n+2）}{2}$，
因此：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{n（n+2）}{2}$．

点评 本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式及等差数列的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用，属于中档题．