Question

17．已知A（1，1），B（cosθ，sinθ），C（sinθ，cosθ）（0＜θ＜$\frac{π}{4}$），△ABC的重心为G．
（1）求|BC|的取值范围；
（2）求|OG|的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出|BC|，|OG|，再利用辅助角公式化简，即可求得结论．

解答 解：（1）|BC|=$\sqrt{（sinθ-cosθ）^{2}+（cosθ-sinθ）^{2}}$=2|sin（θ-$\frac{π}{4}$）|，
∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜θ-$\frac{π}{4}$＜0，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（θ-$\frac{π}{4}$）＜0，
∴0＜|BC|＜$\sqrt{2}$；
（2）G（$\frac{1}{3}$（1+cosθ+sinθ），$\frac{1}{3}$（1+sinθ+cosθ）），
∴|OG|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$|1+cosθ+sinθ|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$|1+$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）|，
∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜θ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{4}$）＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜|OG|＜$\frac{\sqrt{2}+2}{3}$．

点评 本题考查两点间的距离公式，考查辅助角公式的运用，考查学生方式解决问题的能力，属于中档题．