Question

12．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，已知b²+c²=a²+bc，cosB+cosC=1．
（1）求角A的大小；
（2）若c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A；
（2）由cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）=1，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，进而解得a=b=c=4，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）因为b²+c²=a²+bc，
所以由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2cb}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
又0＜A＜π，
则A=$\frac{π}{3}$，…（5分）
（2）因为A=$\frac{π}{3}$，cosB+cosC=1．
所以，cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）=cosB$-\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB=1，即：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
解得B=C=$\frac{π}{3}$，a=b=c=4，…（8分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×4×sin\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查余弦定理，两角差的余弦函数公式，平方关系，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．