Question

13．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，0≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤e}\end{array}\right.$，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P在区域N内概率为（　　）

• A． $\frac{2e-3}{2e}$
• B． $\frac{3}{2e}$
• C． $\frac{{e}^{e}{-e}^{2}+e-1}{e}$
• D． $\frac{e-1}{e+1}$

Answer 1

分析 首先分别求出两个区域的面积，利用几何概型的公式得到所求．

解答 解：由题意，区域M为长为e，宽为1的矩形，面积为e，
曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e-$\frac{1}{2}×1×1-{∫}_{1}^{e}lnxdx$，其中，设t=lnx，则${∫}_{1}^{e}lnxdx={∫}_{0}^{1}td{e}^{t}=（t{e}^{t}-{e}^{t}）{|}_{0}^{1}$=1；
所以曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e-$\frac{1}{2}×1×1-{∫}_{1}^{e}lnxdx$=e-$\frac{1}{2}$-1=e-$\frac{3}{2}$，
由几何概型的公式得到$\frac{e-\frac{3}{2}}{e}=\frac{2e-3}{2e}$；
故选A．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是利用定积分求出曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N．