Question

8．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 首先根据约束条件求出使得目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2的x，y值，得到a，b的等式，利用基本不等式求最小值．

解答 解：由题意变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，
对应的区域如图，可得在A（2，1）处z取得最小值，所以2a+2b=2，即a+b=1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）
=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$时等号成立．
故答案为：9

点评 本题考查了简单线性规划问题与基本不等式结合，正确求出关于a，b的等式是解答的前提，对所求正确变形，利用基本不等式求最小值是关键．