【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴
轴分别交于
两点.
①设直线斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
②求面积的最大值.
【答案】(1).
(2) ①证明见解析,;②
.
【解析】试题分析:(1)首先由题意得到,即
.
将代入
可得
,
由,可得
.
得解.
(2)(ⅰ)注意从确定的表达式入手,探求使
成立的
.
设,则
,
得到,
根据直线BD的方程为,
令,得
,即
.得到
.
由,作出结论.
(ⅱ)直线BD的方程,
从确定的面积表达式
入手,应用基本不等式得解.
试题解析:(1)由题意知,可得
.
椭圆C的方程可化简为.
将代入可得
,
因此,可得
.
因此,
所以椭圆C的方程为.
(2)(ⅰ)设,则
,
因为直线AB的斜率,
又,所以直线AD的斜率
,
设直线AD的方程为,
由题意知,
由,可得
.
所以,
因此,
由题意知,
所以,
所以直线BD的方程为,
令,得
,即
.
可得.
所以,即
.
因此存在常数使得结论成立.
(ⅱ)直线BD的方程,
令,得
,即
,
由(ⅰ)知,
可得的面积
,
因为,当且仅当
时等号成立,
此时S取得最大值,
所以的面积的最大值为
.
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【题目】已知动圆P恒过定点,且与直线
相切.
(Ⅰ)求动圆P圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两点C、D在轨迹M上,求正方形的面积.
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【题目】已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.
(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含,求m的取值范围.
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【题目】如图,是坐标原点,过
的直线分别交抛物线
于
、
两点,直线
与过点
平行于
轴的直线相交于点
,过点
与此抛物线相切的直线与直线
相交于点
.则
( )
A. B.
C.
D.
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【题目】分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后,“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=ax3﹣ax﹣xlnx.其中a∈R.
(Ⅰ)若,证明:f(x)≥0;
(Ⅱ)若xe1﹣x≥1﹣f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
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