【题目】已知函数f(x)=ax3﹣ax﹣xlnx.其中a∈R.
(Ⅰ)若,证明:f(x)≥0;
(Ⅱ)若xe1﹣x≥1﹣f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)[).
【解析】
(Ⅰ)先对函数求导,然后结合导数可求函数的单调性,进而可求的范围,即可得证;
(Ⅱ)由已知代入整理可得在
上恒成立,构造函数
,
,按照
、
讨论,结合导数分别分析函数的特征性质,即可得解.
(Ⅰ)证明:函数的定义域
,
当时,
,
令,则
,
当时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增;
故,
又,所以
;
(Ⅱ)若在
上恒成立,
则在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,
,
令,则
,则
,
所以,可得
,
∵,
(i)当时,
,
在
上单调递减,故
,
此时不成立;
(ii)当时,由
可得
,
,
当即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,则在
上,
不成立;
当即
时,
在
上单调递增,
令,
则,
令,
∵,
故在
上单调递增,
,
则,符合题意;
综上,a的范围.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于
两点(
不是椭圆
的顶点),点
在椭圆
上,且
,直线
与
轴
轴分别交于
两点.
①设直线斜率分别为
,证明存在常数
使得
,并求出
的值;
②求面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x,将指标x按照分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.
规定若,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”,且当
时,认定该户为“低收入户”;当
时,认定该户为“亟待帮助户”,已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关;
甲村 | 乙村 | 总计 | |
绝对贫困户 | |||
相对贫困户 | |||
总计 |
(2)若两村“低收入户”中乙村“低收入户”占比为,两村“亟待帮助户”中乙村“亟待帮助户”占比为
,且乙村贫困指标在
上的户数成等差数列,试估计乙村贫困指标x的平均值
.
附:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】为了调节高三学生学习压力,某校高三年级举行了拔河比赛,在赛前三位老师对前三名进行了预测,于是有了以下对话:老师甲:“7班男生比较壮,7班肯定得第一名”.老师乙:“我觉得14班比15班强,14班名次会比15班靠前”.老师丙:“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛,回来后说:“确实是这三个班得了前三名,且无并列,但是你们三人中只有一人预测准确”.那么,获得一、二、三名的班级依次为( )
A.7班、14班、15班B.14班、7班、15班
C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班
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【题目】如图,椭圆
的左右焦点分别为的
、
,离心率为
;过抛物线
焦点
的直线交抛物线于
、
两点,当
时,
点在
轴上的射影为
。连结
并延长分别交
于
、
两点,连接
;
与
的面积分别记为
,
,设
.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线
的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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